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Essentials of Computational Fluid Dynamics

Essentials of Computational Fluid Dynamics

  • Author: Jens-Dominik Mueller
  • Publisher: CRC Press
  • ISBN: 1482227312
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 225
  • View: 9873
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Covered from the vantage point of a user of a commercial flow package, Essentials of Computational Fluid Dynamics provides the information needed to competently operate a commercial flow solver. This book provides a physical description of fluid flow, outlines the strengths and weaknesses of computational fluid dynamics (CFD), presents the basics of the discretization of the equations, focuses on the understanding of how the flow physics interact with a typical finite-volume discretization, and highlights the approximate nature of CFD. It emphasizes how the physical concepts (mass conservation or momentum balance) are reflected in the CFD solutions while minimizing the required mathematical/numerical background. In addition, it uses cases studies in mechanical/aero and biomedical engineering, includes MATLAB and spreadsheet examples, codes and exercise questions. The book also provides practical demonstrations on core principles and key behaviors and incorporates a wide range of colorful examples of CFD simulations in various fields of engineering. In addition, this author: Introduces basic discretizations, the linear advection equation, and forward, backward and central differences Proposes a prototype discretization (first-order upwind) implemented in a spreadsheet/MATLAB example that highlights the diffusive character Looks at consistency, truncation error, and order of accuracy Analyzes the truncation error of the forward, backward, central differences using simple Taylor analysis Demonstrates how the of upwinding produces Artificial Viscosity (AV) and its importance for stability Explains how to select boundary conditions based on physical considerations Illustrates these concepts in a number of carefully discussed case studies Essentials of Computational Fluid Dynamics provides a solid introduction to the basic principles of practical CFD and serves as a resource for students in mechanical or aerospace engineering taking a first CFD course as well as practicing professionals needing a brief, accessible introduction to CFD.

Elements of Computational Fluid Dynamics

Elements of Computational Fluid Dynamics

  • Author: John D. Ramshaw
  • Publisher: World Scientific
  • ISBN: 1848167059
  • Category: Science
  • Page: 127
  • View: 383
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This book is a brief introduction to the fundamental concepts of computational fluid dynamics (CFD). It is addressed to beginners, and presents the ABC's or bare essentials of CFD in their simplest and most transparent form. The approach taken is to describe the principal analytical tools required, including truncation-error and stability analyses, followed by the basic elements or building blocks of CFD, which are numerical methods for treating sources, diffusion, convection, and pressure waves. Finally, it is shown how those ingredients may be combined to obtain self-contained numerical methods for solving the full equations of fluid dynamics. The book should be suitable for self-study, as a textbook for CFD short courses, and as a supplement to more comprehensive CFD and fluid dynamics texts.

Computational Fluid Dynamics

Computational Fluid Dynamics

A Practical Approach

  • Author: Jiyuan Tu,Guan-Heng Yeoh,Chaoqun Liu
  • Publisher: Elsevier
  • ISBN: 9780080556857
  • Category: Science
  • Page: 480
  • View: 4028
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Computational Fluid Dynamics enables engineers to model and predict fluid flow in powerful, visually impressive ways and is one of the core engineering design tools, essential to the study and future work of many engineers. This textbook is designed to explcitly meet the needs engineering students taking a first course in CFD or computer-aided engineering. Fully course matched, with the most extensive and rigorous pedagogy and features of any book in the field, it is certain to be a key text. The only course text available specifically designed to give an applications-lead, commercial software oriented approach to understanding and using Computational Fluid Dynamics (CFD). Meets the needs of all engineering disciplines that use CFD. The perfect CFD teaching resource: clear, straightforward text, step-by-step explanation of mathematical foundations, detailed worked examples, end-of-chapter knowledge check exercises, and homework assignment questions

Introduction to Computational Fluid Dynamics

Introduction to Computational Fluid Dynamics

Development, Application and Analysis

  • Author: Atul Sharma
  • Publisher: John Wiley & Sons
  • ISBN: 1119002990
  • Category: TECHNOLOGY & ENGINEERING
  • Page: 300
  • View: 8576
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This book is primarily for a first one-semester course on CFD; in mechanical, chemical, and aeronautical engineering. Almost all the existing books on CFD assume knowledge of mathematics in general and differential calculus as well as numerical methods in particular; thus, limiting the readership mostly to the postgraduate curriculum. In this book, an attempt is made to simplify the subject even for readers who have little or no experience in CFD, and without prior knowledge of fluid-dynamics, heattransfer and numerical-methods. The major emphasis is on simplification of the mathematics involved by presenting physical-law (instead of the traditional differential equations) based algebraic-formulations, discussions, and solution-methodology. The physical law based simplified CFD approach (proposed in this book for the first time) keeps the level of mathematics to school education, and also allows the reader to intuitively get started with the computer-programming. Another distinguishing feature of the present book is to effectively link the theory with the computer-program (code). This is done with more pictorial as well as detailed explanation of the numerical methodology. Furthermore, the present book is structured for a module-by-module code-development of the two-dimensional numerical formulation; the codes are given for 2D heat conduction, advection and convection. The present subject involves learning to develop and effectively use a product - a CFD software. The details for the CFD development presented here is the main part of a CFD software. Furthermore, CFD application and analysis are presented by carefully designed example as well as exercise problems; not only limited to fluid dynamics but also includes heat transfer. The reader is trained for a job as CFD developer as well as CFD application engineer; and can also lead to start-ups on the development of "apps" (customized CFD software) for various engineering applications. "Atul has championed the finite volume method which is now the industry standard. He knows the conventional method of discretizing differential equations but has never been satisfied with it. As a result, he has developed a principle that physical laws that characterize the differential equations should be reflected at every stage of discretization and every stage of approximation. This new CFD book is comprehensive and has a stamp of originality of the author. It will bring students closer to the subject and enable them to contribute to it." —Dr. K. Muralidhar, IIT Kanpur, INDIA

Numerische Strömungsmechanik

Numerische Strömungsmechanik

  • Author: Joel H. Ferziger,Milovan Peric
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3540682287
  • Category: Science
  • Page: 509
  • View: 1691
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Das Buch bietet einen Überblick über die numerischen Methoden zur Lösung strömungsmechanischer Probleme. Die in der Praxis meistgenutzten Methoden werden detailliert beschrieben. Behandelt werden auch fortgeschrittene Methoden, wie die Simulation von Turbulenzen und Parallel-Verarbeitung. Das Buch beschreibt die Grundlagen und Prinzipien der verschiedenen Methoden. Numerische Genauigkeit und Abschätzung sowie Fehlerreduktion werden detailliert mit vielen Beispielen behandelt. Alle Computercodes sind über den Server ftp.springer.de des Springer-Verlages erhältlich (Internet).

Optical Remote Sensing of Ocean Hydrodynamics

Optical Remote Sensing of Ocean Hydrodynamics

  • Author: Victor Raizer
  • Publisher: CRC Press
  • ISBN: 1351119168
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 280
  • View: 2430
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Optical Remote Sensing is one of the main technologies used in sea surface monitoring. Optical Remote Sensing of Ocean Hydrodynamics investigates and demonstrates capabilities of optical remote sensing technology for enhanced observations and detection of ocean environments. It provides extensive knowledge of physical principles and capabilities of optical observations of the oceans at high spatial resolution, 1-4m, and on the observations of surface wave hydrodynamic processes. It also describes the implementation of spectral-statistical and fusion algorithms for analyses of multispectral optical databases and establishes physics-based criteria for detection of complex wave phenomena and hydrodynamic disturbances including assessment and management of optical databases. This book explains the physical principles of high-resolution optical imagery of the ocean surface, discusses for the first time the capabilities of observing hydrodynamic processes and events, and emphasizes the integration of optical measurements and enhanced data analysis. It also covers both the assessment and the interpretation of dynamic multispectral optical databases and includes applications for advanced studies and nonacoustic detection. This book is an invaluable resource for researches, industry professionals, engineers, and students working on cross-disciplinary problems in ocean hydrodynamics, optical remote sensing of the ocean and sea surface remote sensing. Readers in the fields of geosciences and remote sensing, applied physics, oceanography, satellite observation technology, and optical engineering will learn the theory and practice of optical interactions with the ocean.

Fluid Mechanics

Fluid Mechanics

  • Author: Frank Mangrom White,Rhim Yoon Chul
  • Publisher: N.A
  • ISBN: 9789814720175
  • Category: Fluid mechanics
  • Page: 773
  • View: 7079
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Grenzschicht-Theorie

Grenzschicht-Theorie

  • Author: H. Schlichting,Klaus Gersten
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3662075547
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 852
  • View: 3844
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Die Überarbeitung für die 10. deutschsprachige Auflage von Hermann Schlichtings Standardwerk wurde wiederum von Klaus Gersten geleitet, der schon die umfassende Neuformulierung der 9. Auflage vorgenommen hatte. Es wurden durchgängig Aktualisierungen vorgenommen, aber auch das Kapitel 15 von Herbert Oertel jr. neu bearbeitet. Das Buch gibt einen umfassenden Überblick über den Einsatz der Grenzschicht-Theorie in allen Bereichen der Strömungsmechanik. Dabei liegt der Schwerpunkt bei den Umströmungen von Körpern (z.B. Flugzeugaerodynamik). Das Buch wird wieder den Studenten der Strömungsmechanik wie auch Industrie-Ingenieuren ein unverzichtbarer Partner unerschöpflicher Informationen sein.

Numerical Computation of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics

Numerical Computation of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics

  • Author: Charles Hirsch
  • Publisher: Butterworth-Heinemann
  • ISBN: 9780750665940
  • Category: Mathematics
  • Page: 680
  • View: 3292
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The second edition of this book is a self-contained introduction to computational fluid dynamics (CFD). It covers the fundamentals of the subject and is ideal as a text or a comprehensive reference to CFD theory and practice. New approach takes readers seamlessly from first principles to more advanced and applied topics. Presents the essential components of a simulation system at a level suitable for those coming into contact with CFD for the first time, and is ideal for those who need a comprehensive refresher on the fundamentals of CFD. Enhanced pedagogy features chapter objectives, hands-on practice examples and end of chapter exercises. Extended coverage of finite difference, finite volume and finite element methods. New chapters include an introduction to grid properties and the use of grids in practice. Includes material on 2-D inviscid, potential and Euler flows, 2-D viscous flows and Navier-Stokes flows to enable the reader to develop basic CFD simulations. Includes best practice guidelines for applying existing commercial or shareware CFD tools.

Essential Computational Fluid Dynamics

Essential Computational Fluid Dynamics

  • Author: Oleg Zikanov
  • Publisher: John Wiley & Sons
  • ISBN: 1118174399
  • Category: Science
  • Page: 320
  • View: 1870
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This book serves as a complete and self-contained introduction tothe principles of Computational Fluid Dynamic (CFD)analysis. It is deliberately short (at approximately 300pages) and can be used as a text for the first part of the courseof applied CFD followed by a software tutorial. The mainobjectives of this non-traditional format are: 1) To introduce andexplain, using simple examples where possible, the principles andmethods of CFD analysis and to demystify the `black box’ of aCFD software tool, and 2) To provide a basic understanding of howCFD problems are set and which factors affect the success andfailure of the analysis. Included in the text are themathematical and physical foundations of CFD, formulation of CFDproblems, basic principles of numerical approximation (grids,consistency, convergence, stability, and order of approximation,etc), methods of discretization with focus on finite difference andfinite volume techniques, methods of solution of transient andsteady state problems, commonly used numerical methods for heattransfer and fluid flows, plus a brief introduction into turbulencemodeling.

Prandtl - Führer durch die Strömungslehre

Prandtl - Führer durch die Strömungslehre

Grundlagen und Phänomene

  • Author: Herbert Oertel jr.
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3658086270
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 790
  • View: 9590
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Dieses Fachbuch gilt unumstritten als das Standardwerk der Strömungslehre. In der von renommierten Strömungswissenschaftlern verfassten aktuellen 14. Auflage wurden alle Kapitel auf den neuesten Erkenntnisstand gebracht. In ganzheitlicher Weise werden die Strömungen vom phänomenologischen Standpunkt her betrachtet und Systematiken daraus abgeleitet. Den Autoren gelingt es, den Blick für das Verständnis von Einflüssen und Vorgängen zu schärfen. Der Prandtl ist als klassisches Lehrbuch aber auch als Nachschlagewerk besonders gut geeignet. Die Printauflage wurde erstmalig parallel zu einer living edition auf Springer Reference entwickelt, bei der Änderungen jederzeit eingearbeitet werden können.

Autodesk Cfd 2017 Essentials

Autodesk Cfd 2017 Essentials

Autodesk Authorized Publisher

  • Author: ASCENT - Center for Technical Knowledge
  • Publisher: N.A
  • ISBN: 9781943184781
  • Category:
  • Page: N.A
  • View: 3899
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The Autodesk(r) CFD 2017 Essentials student guide instructs students in the use of the Autodesk(r) CFD software. The software provides computational fluid dynamics and thermal simulation tools to predict product performance, optimize designs, and validate product behavior before manufacturing. Through a hands-on, practice-intensive curriculum, students acquire the knowledge required to work in the Autodesk CFD environment to setup and conduct thermal and flow analyses on part and assembly models. Exercises are provided that cover electronic cooling, flow control, and AEC type models. Topics Covered Open and navigate the Autodesk CFD environment to conduct flow and thermal analyses on part and assembly models. Use the Model Assessment Toolkit to investigate the suitability of model geometry for analysis, and use Autodesk(r) SimStudio Tools to make required changes to the CAD geometry. Create internal and external fluid volumes. Setup analyses by applying appropriate materials, boundary conditions and mesh settings. Refine mesh to obtain a proper solution. Apply appropriate solver settings to run your analyses and converge to an acceptable solution. Use the visualization tools to compare summary images, summary values, and summary plots of your analyses to compare design and scenario results of an Autodesk CFD analysis. Conduct a final validation of your solution by running through a validation checklist. Prerequisites This student guide assumes that a student has some Flow and Thermal analysis knowledge and can interpret results. The main goal of this student guide is to teach a user that is new to the Autodesk CFD software how to navigate the interface to successfully analyze a model. This student guide was written using the 20160317 build of the Autodesk CFD 2017 software. The software user-interface and workflow may vary if newer versions of the software are being used. The exercises were completed using the advanced solver license. Instructions are provided to complete this class with a basic solver license.

Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics

Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics

  • Author: Herbert Oertel
  • Publisher: Springer Science & Business Media
  • ISBN: 0387218033
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 726
  • View: 5658
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This book is an update and extension of the classic textbook by Ludwig Prandtl, Essentials of Fluid Mechanics. It is based on the 10th German edition with additional material included. Chapters on wing aerodynamics, heat transfer, and layered flows have been revised and extended, and there are new chapters on fluid mechanical instabilities and biomedical fluid mechanics. References to the literature have been kept to a minimum, and the extensive historical citations may be found by referring to previous editions. This book is aimed at science and engineering students who wish to attain an overview of the various branches of fluid mechanics. It will also be useful as a reference for researchers working in the field of fluid mechanics.

Systeme von Turbofan-Triebwerken

Systeme von Turbofan-Triebwerken

Funktionen der Triebwerkssysteme von Verkehrsflugzeugen

  • Author: Andreas Linke-Diesinger
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3662445700
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 240
  • View: 1664
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Um das Funktionsprinzip von Turbinentriebwerken zu verstehen, reicht es nicht aus, das grundsätzliche Funktionsprinzip einer Gasturbine zu kennen. Es ist ebenfalls erforderlich, die Funktionen und den Aufbau der Triebwerkssysteme zu verstehen. Dieses Buch bietet eine Einführung in die Systemfunktionen von modernen Turbofan-Triebwerken. Es ist für Leser geschrieben, die mit dem Funktionsprinzip des Turbinentriebwerks vertraut sind und sich grundlegend mit den Funktionen der Triebwerkssysteme befassen wollen. Mit Hilfe dieses Buches erhält der Leser auch eine Orientierung in dem scheinbaren Gewirr von Rohrleitungen, Schläuchen, Kabeln und Systembauteilen an einem Turbofan-Triebwerk. In diesem Buch findet der Leser Informationen über den Betrieb der Triebwerkssysteme, die Aufgaben ihrer Komponenten und die in der Luftfahrtindustrie übliche Terminologie. Die englischen Begriffe werden ebenfalls genannt oder auch im Text verwendet, wenn dies sinnvoll ist. Die Triebwerkssysteme werden anhand von Beispielen erklärt, die von heute in Verwendung befindlichen Triebwerkstypen verschiedener Hersteller stammen. Dieses Buch ist eine nützliche Informationsquelle für Mechaniker und Ingenieurs-Studenten. Auch Flugschüler in der Berufspilotenausbildung finden hier Informationen, die das in ihrer Ausbildung vermittelte Wissen erweitern. Selbst für Leser ohne Ingenieursausbildung und für solche, die sich nicht beruflich mit der Materie befassen, bietet das Buch umfassende und leicht verständliche Informationen. Es hilft ihnen, die Funktionsprinzipien der Systeme von Turbofan-Triebwerken zu verstehen.

Elementare Analysis

Elementare Analysis

Von der Anschauung zur Theorie

  • Author: Andreas Büchter,Hans-Wolfgang Henn
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3827426804
  • Category: Mathematics
  • Page: 340
  • View: 914
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In diesem Lehrbuch finden Sie einen Zugang zur Differenzial- und Integralrechnung, der ausgehend von inhaltlich-anschaulichen Überlegungen die zugehörige Theorie entwickelt. Dabei entsteht die Theorie als Präzisierung und als Überwindung der Grenzen des Anschaulichen. Das Buch richtet sich an Studierende des Lehramts Mathematik für die Sekundarstufe I, die „Elementare Analysis" als „höheren Standpunkt" für die Funktionenlehre benötigen, Studierende für das gymnasiale Lehramt oder in Bachelor-Studiengängen, die einen sinnstiftenden Zugang zur Analysis suchen, und an Mathematiklehrkräfte der Sekundarstufe II, die ihren Analysis-Lehrgang stärker inhaltlich als kalkülorientiert gestalten möchten. Die Entwicklung der Theorie wird ergänzt durch grundlegende Betrachtungen funktionaler Zusammenhänge, mathematischen Grundlagen der Analysis sowie relevante Anwendungen in Theorie und Praxis. Zahlreiche Abbildungen sowie integrierte Lernaufgaben mit Lösungen im Internet runden die Darstellung ab.

Mathematische Modellierung

Mathematische Modellierung

  • Author: Christof Eck,Harald Garcke,Peter Knabner
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3662543354
  • Category: Mathematics
  • Page: 515
  • View: 313
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Das Lehrbuch bietet eine lebendige und anschauliche Einführung in die mathematische Modellierung von Phänomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Leser lernen, mathematische Modelle zu verstehen und selbst herzuleiten und finden eine Fülle von Beispielen, u. a. aus den Bereichen chemische Reaktionskinetik, Populationsdynamik, Strömungsdynamik, Elastizitätstheorie und Kristallwachstum. Die Methoden der Linearen Algebra, der Analysis und der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen werden sorgfältig eingeführt.

Mechanische Schwingungen

Mechanische Schwingungen

  • Author: Jacob P. DenHartog
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3662124440
  • Category: Science
  • Page: 427
  • View: 7376
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Die amerikanische Ausgabe dieses Buches erschien 1947 in der dritten, nicht unwesentlich erweiterten Auflage. Der Verfasser erwähnt in seinem Vorwort, daß es ursprünglich aus dem Text von Vorlesungen an der Design School der W estinghouse Company entstand und zu nächst für den Unterrichtsgebrauch an der Harvard Engineering School herausgegeben wurde. In die Neuauflage wurden neue Veröffentlichungen und eigene Erfahrungen eingearbeitet. Im Vorwort der deutschen Erstauflage (1936) wurde darauf hin gewiesen, daß das vorliegende Buch eine glückliche, dem ingenieur mäßigen Denken entsprechende Anschaulichkeit hat. Der Verfasser ver meidet es, lediglich Gebrauchsanweisungen für Rechenvorschriften zu geben; andererseits verzichtet er auf die Ausarbeitung der vollstän digen, strengen Theorie. Er versteht es, dem Leser die wesentlichen Zusammenhänge auch verwickelter Erscheinungen plausibel zu machen. So vermittelt die Darstellung nicht einen höheren theoreti schen Überblick, sondern leitet den Leser mit einfacher mathematischer oder anschaulicher mechanischer Begründung auf einen Weg, der in praktischen Schwingungsfragen zur zahlenmäßigen Lösung, mindestens aber zu einer guten Annäherung der "exakten" Lösung führt. Eine Fülle von Beispielen und Aufgaben regt dazu an, die Beherrschung der dargelegten Rechenverfahren zu erproben und zu vertiefen. Aus diesen Gründen erfolgte die Übersetzung in die deutsche Sprache. Inzwischen ist die amerikanische Ausgabe mit großem Erfolg im Hochschulunterricht eingesetzt worden. Den deutschen Leser inter essiert vielleicht der Hinweis, daß der Hochschulunterricht in Amerika von der europäischen Art sehr verschieden ist. Die Vorlesungen werden nach einem bestimmten "Textbuch" gelesen.

Nichtlineare Finite-Element-Methoden

Nichtlineare Finite-Element-Methoden

  • Author: Peter Wriggers
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3642568653
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 496
  • View: 7079
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Die Anwendung der Finite-Element-Methode auf nichtlineare technische Probleme hat in den letzten Jahren - auch wegen der stark angestiegenen Rechnerleistung - erheblich zugenommen. Bei nichtlinearen numerischen Simulationen sind verschiedene Aspekte zu berücksichtigen, die das Wissen und Verstehen der theoretischen Grundlagen, der zugehörigen Elementformulierungen sowie der Algorithmen zur Lösung der nichtlinearen Gleichungen voraussetzen. Hierzu soll dieses Buch beitragen, wobei die Bandbreite nichtlinearer Finite-Element-Analysen im Bereich der Festkörpermechanik abgedeckt wird. Das Buch wendet sich an Studierende des Ingenieurwesens im Hauptstudium, an Doktoranden aber auch an praktisch tätige Ingenieure, die Hintergrundwissen im Bereich der Finite-Element-Methode erlangen möchten.

Theorie und Praxis der Laser-Doppler-Anemometrie

Theorie und Praxis der Laser-Doppler-Anemometrie

  • Author: Franz Durst,Adrian Melling,James H. Whitelaw
  • Publisher: Springer-Verlag
  • ISBN: 3642521320
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 582
  • View: 6135
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Modern Fluid Dynamics

Modern Fluid Dynamics

Basic Theory and Selected Applications in Macro- and Micro-Fluidics

  • Author: Clement Kleinstreuer
  • Publisher: Springer Science & Business Media
  • ISBN: 9048120950
  • Category: Technology & Engineering
  • Page: 620
  • View: 8841
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This textbook covers essentials of traditional and modern fluid dynamics, i. e. , the fundamentals of and basic applications in fluid mechanics and convection heat transfer with brief excursions into fluid-particle dynamics and solid mechanics. Specifically, it is suggested that the book can be used to enhance the knowledge base and skill level of engineering and physics students in macro-scale fluid mechanics (see Chaps. 1–5 and 10), followed by an int- ductory excursion into micro-scale fluid dynamics (see Chaps. 6 to 9). These ten chapters are rather self-contained, i. e. , most of the material of Chaps. 1–10 (or selectively just certain chapters) could be taught in one course, based on the students’ background. Typically, serious seniors and first-year graduate students form a receptive audience (see sample syllabus). Such as target group of students would have had prerequisites in thermodynamics, fluid mechanics and solid mechanics, where Part A would be a welcomed refresher. While introductory fluid mechanics books present the material in progressive order, i. e. , employing an inductive approach from the simple to the more difficult, the present text adopts more of a deductive approach. Indeed, understanding the derivation of the basic equations and then formulating the system-specific equations with suitable boundary conditions are two key steps for proper problem solutions.